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Análisis Matemático 66

2025 CABANA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

1.9. Considerar el conjunto A={nn+1:nN}A=\left\{\frac{n}{n+1}: n \in \mathbb{N}\right\}.
b) Exhibir un elemento aAa \in A que satisfaga 0,9<a<10,9 \lt a\lt 1.

Respuesta

A ver, acomodemos los tantos. Queremos encontrar un elemento aAa \in A que cumpla que 0.9<a<10.9 < a < 1. Observemos cómo se comporta la fracción nn+1\frac{n}{n+1} para distintos valores de nn, para ver que elementos del conjunto AA vamos obteniendo...
- Para n=1n = 1, tenemos 12=0.5\frac{1}{2} = 0.5. - Para n=5n = 5, tenemos 560.833\frac{5}{6} \approx 0.833. - Para n=10n = 10, tenemos 10110.909\frac{10}{11} \approx 0.909. - Para n=100n = 100, tenemos 1001010.990\frac{100}{101} \approx 0.990. - Para n=1000n = 1000, tenemos 100010010.999\frac{1000}{1001} \approx 0.999. A medida que nn crece, la fracción nn+1\frac{n}{n+1} se acerca cada vez más a 1. Fijate que para n=10n = 10, ya estamos en el rango 0.9<1011<10.9 < \frac{10}{11} < 1, wiiii =) Entonces, atenti con esto: Al aumentar nn, obtendremos más elementos de AA que cumplen con la condición 0.9<a<10.9 < a < 1. Es decir, para n=10n = 10, 1011\frac{10}{11} es un ejemplo que cumple con la condición, y si seguimos aumentando nn, encontraremos más fracciones que también satisfacen 0.9<nn+1<10.9 < \frac{n}{n+1} < 1.

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